situé entre les deux autres, cesse d’être vérifié, nous obtenons la Géométrie (elliptique) de Riemann, en sorte que celle-ci se manifeste comme une Géométrie placée à la suite de celle de Lobatchefskij.
Si, d’une manière analogue, nous voulons examiner les principes dans le cas de l’axiome d’Archimède, nous n’avons qu’à supposer que cet axiome n’est pas vérifié et nous obtenons alors les Géométries non archimédiennes dont M. Veronese et moi nous avons fait l’étude. Or, une question plus générale qui se présente ensuite est celle de savoir si l’on pourrait encore, en partant d’autres points de vue, édifier des Géométries qui, avec non moins de droit que les précédentes, se placeraient à la suite de la Géométrie euclidienne habituelle. À cet effet, j’attirerai votre attention sur un théorème que beaucoup d’auteurs d’ailleurs ont pris comme définition de la ligne droite, à savoir que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. Cet énoncé se réduit essentiellement à ce théorème d’Euclide que, dans un triangle, la somme de deux côtés est toujours plus grande que le troisième ; il est facile de voir que, dans ce théorème, il ne s’agit que de concepts élémentaires, c’est-à-dire dérivant immédiatement des axiomes ; il est, par suite, d’une discussion plus abordable que la proposition en question de la droite plus court chemin. Euclide démontre ce théorème au moyen de la proposition de l’angle extérieur en s’appuyant sur les théorèmes de congruence. Or, il est aisé de se convaincre que la démonstration du théorème d’Euclide en question est impossible si l’on invoque uniquement les théorèmes de congruence relatifs au transport de segments et d’angles, et l’on voit qu’il est nécessaire, en outre, d’employer dans la démonstration un théorème de la congruence des triangles. Alors cette question se présente : Existe-t-il une Géométrie où sont vérifiés tous les axiomes de la Géométrie euclidienne habituelle et, en particulier, tous les axiomes de congruence, sauf l’axiome de congruence de triangles dont il vient d’être parlé (c’est-à-dire encore une Géométrie où ne sera pas vérifié le théorème d’après lequel les angles à la base d’un triangle isoscèle sont égaux)
