et où, de plus, le théorème que, dans tout triangle, la somme de deux côtés est plus grande que le troisième, est posé comme un axiome particulier ?
Or, l’on reconnaît qu’une telle Géométrie existe effectivement, et n’est pas autre que celle exposée par M. Minkowski dans son livre, Geometrie der Zahlen[1], et prise par lui comme base de ses recherches arithmétiques. La Géométrie de Minkowski est donc aussi une Géométrie qui se place à la suite de la Géométrie euclidienne habituelle ; elle est essentiellement caractérisée par les conventions suivantes :
Premièrement, les points à égale distance d’un point fixe O sont représentés par une surface convexe fermée de l’espace euclidien habituel et dont le centre est le point O ;
Secondement, deux segments sont encore dits égaux quand on peut les faire coïncider au moyen d’une translation de l’espace euclidien habituel.
Dans la Géométrie de Minkowski, l’axiome des parallèles est vérifié. Dans une Note[2] que j’ai publiée sur le théorème relatif à la droite chemin le plus court d’un point à un autre, je suis parvenu à une Géométrie où l’axiome des parallèles n’est pas vérifié, tandis que tous les autres axiomes de la Géométrie de Minkowski le sont. En raison du rôle important joué par le théorème de la ligne droite plus court chemin d’un point à un autre, ainsi que par le théorème d’Euclide sur la somme de deux côtés d’un triangle, qui est essentiellement équivalent, non seulement dans la théorie des nombres, mais encore dans la théorie des surfaces et le Calcul des variations, et comme je suis convaincu qu’une discussion approfondie des conditions relatives à la validité de ces théorèmes jetterait également un nouveau jour sur le concept de distance ainsi que sur d’autres notions élémentaires, par exemple sur la définition du plan et sur la possibilité de le définir au moyen du concept de droite,
