il me semble désirable que l’on fasse une discussion et une exposition systématique des Géométries possibles ici.
Dans le cas du plan et en admettant l’axiome de continuité, le problème dont il s’agit conduit à la question traitée par M. Darboux[1] : Déterminer tous les problèmes du Calcul des variations dans le plan où les solutions sont toutes les droites du plan ; question qui me semble susceptible et digne de généralisations fécondes et intéressantes[2].
V. — De la notion des groupes continus de transformations de Lie, en faisant abstraction de l’hypothèse que les fonctions définissant les groupes sont susceptibles de différentiation.
On sait qu’en employant la notion des groupes continus de transformation, Lie a établi un système d’axiomes pour la Géométrie, et a démontré au moyen de sa théorie des groupes continus de transformations que ce système d’axiomes suffit pour édifier la Géométrie.
Or, dans l’exposition de sa théorie, Lie suppose toujours que les fonctions définissant les groupes sont susceptibles de différentiation ; alors que rien dans ces développements ne nous dit si, dans la question des axiomes de la Géométrie, cette hypothèse relative à la différentiation est de toute nécessité, ou si elle ne serait pas plutôt une conséquence du concept de groupes ainsi que des autres axiomes géométriques employés. Cette considération, ainsi que certains problèmes relatifs aux axiomes arithmétiques, nous mènent à cette question plus générale : Jusqu’à quel point le concept de groupes continus de transformations de Lie est-il accessible, si l’on rejette l’hypothèse que les fonctions en question sont susceptibles de différentiation ?
On sait que Lie définit le groupe fini continu de transformations
