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comme un système de transformations

x'_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n};a_{1},\ldots ,a_{r})\quad (i=1,\ldots ,n)

tel que deux transformations quelconques

{\begin{aligned}x'_{i}\,&=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n};a_{1},\ldots ,a_{r}){\text{,}}\\x''_{i}&=f_{i}(x'_{1},\ldots ,x'_{n};b_{1},\ldots ,b_{r})\end{aligned}}

du système, opérées l’une après l’autre, fournissent une transformation appartenant également au système et, par suite, représentable sous la forme

x''_{i}\!=\!f_{i}[f_{1}(x,a),\!\ldots \!,\!f_{n}(x,a);b_{1},\!\ldots \!,b_{r}]\!=\!f_{i}(x_{1},\!\ldots \!,x_{n};c_{1},\!\ldots \!,c_{r})

,

où ${c_{1},\ldots ,c_{r}}$ sont certaines fonctions de ${a_{1},\ldots ,a_{r}\,;}\;{b_{1},\ldots ,b_{r}}$ . La propriété de groupe se trouve ainsi exprimée par un système d’équations fonctionnelles et ne soumet donc les fonctions ${f_{1},\ldots ,f_{n}\,;}\;{c_{1},\ldots ,c_{r}}$ à aucune autre restriction. Maintenant la méthode de traitement par Lie de ces équations fonctionnelles, à savoir la dérivation des équations différentielles connues dont on part, présuppose nécessairement la continuité des fonctions définissant le groupe ainsi que la possibilité de les différentier.

Quant à la continuité, on devra conserver d’abord cette condition, quand ce ne serait qu’eu égard aux applications géométriques et arithmétiques où la continuité des fonctions en question apparaît comme conséquence de l’axiome de continuité. Au contraire, la possibilité de différentier les fonctions définissant les groupes renferme une condition que l’on ne peut exprimer dans les axiomes géométriques que d’une façon bien détournée et bien compliquée, et il se présente alors cette question : Ne serait-il pas toujours possible, par l’introduction de nouvelles variables et de paramètres convenablement choisis, de ramener le groupe à un autre où les fonctions qui le définissent seraient susceptibles de différentiation ? Ou encore ne serait-il pas au moins possible, au moyen de l’introduction de certaines hypothèses simples, de ramener le groupe à un autre qui serait accessible aux méthodes de Lie ? La réduction aux groupes