J30 PROLEGOMENES
Par exemple, si des nombres forment une suite dont chaque terme surpasse le terme précédent du même nombre, alors la somme des deux termes extrêmes est égale à la somme de deux termes quel- conques également distants des deux termes extrêmes. Cette somme est égale, en même temps, au double du terme moyen, lorsque le nombre des termes est impair; cela a lieu pour les nombres (naturels) pris suivant leur ordre, et pour les nombres pairs et les nombres impairs, pris également suivant leur ordre. Il en est de même des nombres qui se suivent en proportion continue, de manière que le premier soit la moitié du second, le second la moitié du troisième et ainsi de suite jusqu'au dernier terme, ou que le premier soit le tiers du second, le second le tiers du troisième, et ainsi de suite jusqu'au dernier terme : dans ces cas, le produit des deux termes extrêmes est égal au produit de deux nombres quelconques (de la même suite), P. gà. qui soient également distants des deux termes extrêmes, et ce pro- duit est égal en même temps au carré du terme moyen, si le nombre des termes est impair. L'arithmétique traite aussi des nombres paire- ment pairs qui forment la série deux, quatre, huit, seize, etc. et des propriétés qui se présentent dans la formation des triangles numé- riques (nombres triangulaires) ainsi que (dans la formation) des car- rés, des pentagones, des hexagones, lorsqu'ils sont disposés en lignes (selon leur caractère particulier) et qu'ils se suivent dans un ordre régulier^ On additionne (d'abord lesnombres naturels) depuisl'unité jusqu'au dernier^, et l'on obtient ainsi un triangle, puis une suite d'autres triangles (qu'on range) sur la même ligne et qu'on place (chacun) sous son côté. On ajoute ensuite à chaque triangle le triangle correspondant au côté précédent et l'on obtient un carré. En ajoutant de même à chaque carré le triangle du côté précédent^, on obtient
' Pour le» questions dont il s'agit ici, pour dernier numéro, successivement,
voyez Y Algèbre d'f^uler, édition de Paris, cliacun des nombres de la suite des nom-
1807, t. I, p. 201 et sniv. Les Arabes les bres naturels.» (Wœpcke.)
ont prises dans le second livre de l'arith- ^ A la place de <j(jJ| o-^ ^y"'
niétique de Nicomaque. faut lire (jjJI »LtfJl i^iX» fiy». Celte
' « Il faut sous -en tendre qu'on prendra leçon nous est donnée parl'éd.de Boulac.
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