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PROPOSITION XII. PROBLÉME VII.

Suppoſé qu’un corps ſe meuve dans une hiperbole ; on demande la loi de la force centripete qui tend au foyer de cette courbe.

Fig. 22.Que $CA,\;CB$ ſoient les demi axes de l’hyperbole ; $PG,\;KD$ d’autres diamètres conjugués ; $PF$ une perpendiculaire au diametre $KD$ ; & $Qv$ une ordonnée au diamètre $PG$. Qu’on tire $SP$, qui coupe le diametre $DK$ en $E$, & l’ordonnée $Qv$ en $x$, & qu’on acheve le parallélogramme $QRPx$ ; il eſt clair que $EP$ ſera égale au demi axe tranſverſal $AC$ ; car tirant par l’autre foyer $H$ de l’hiperbole la ligne $HI$ parallèle à $EC$, $CH$ étant égale à $CS$, $EI$ ſera égale à $ES$, & par conſéquent $EP$ ſera la moitié de la différence des lignes $PS$ & $PI$, c’eſt-à-dire, (à cauſe que $IH,\;PR$ ſont paralleles, & que les angles $IPR,\;HPZ$ ſont égaux) qu’elle ſera égale à la moitié de la différence des lignes $PS$ & $PH$, c’eſt-à-dire que $EP=AC$.

Cela poſé, tirant $QT$ perpendiculaire ſur $SP$, & nommant $L$ le parametre principal de l’hiperbole ou ${\frac {2BC^{2}}{AC}}$, on aura $L\times QR:L\times Pv::QR:Pv$ ou $::Px:Pv,$ c’eſt-à-dire, à cauſe des triangles ſemblables $Pxv,PEC,::PE:PC,$ ou $::AC:PC$. On aura auſſi, $L\times Pv:Gv\times Pv::L:Gv$ ; & par la nature des coniques $Gv\times vP:Qv^{2}::PC^{2}:CD^{2}$. De plus $Qx^{2}QT^{2},$ ou (ce qui revient au même. Cor. 2. Lem. 7. lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident) $Qv^{2}:QT^{2}::EP^{2}:PF^{2},$ c’eſt-à-dire, $::CA^{2}:PF^{2},$ ou Lemme 12. $::CD^{2}:CB^{2},$ & en compoſant toutes ces raiſons, on aura $L\times QR:QT^{2}::AC\times L\times PC^{2}\times CD^{2}$ ou $2BC^{2}\times PC^{2}\times CD^{2}:PC\times Gv\times CD^{2}\times CB^{2},$ c’eſt-à-dire $::2PC:Gv:$ mais lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident, $2PC\;=\;Gv$. Donc les quantités $L\times QR$ & $QT^{2}$ qui leur ſont proportionnelles ſeront auſſi égales, & en multipliant ces quantités égales par ${\frac {SP^{2}}{QR}},$ on aura ${\frac {SP^{2}\times QT^{2}}{QR}}\;=\;L\times SP^{2}$.