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de l’atmosphère contiguë. Près d’une paroi, où le frottement est régi par la formule (14), il viendra pour $u,$ vu finalement (18), la condition

(21)

$\varepsilon {\frac {du}{dn}}=-\rho g\mathrm {B} u^{2}=\rho g\mathrm {B} _{0}u_{0}^{2}f\left({\frac {\chi y}{\sigma }},{\frac {\chi z}{\sigma }}\right).$

» 27. Voyons maintenant ce que deviennent les équations indéfinies (13) et, d’abord, les deux dernières. Les dérivées en $x$ de $\mathrm {T} _{z},$ $\mathrm {T} _{y},$ qui y figurent, auront, d’après (19), à l’un de leurs deux termes, le facteur $\varepsilon$ en même temps que la dérivée très petite de $u$ en $x$ (différentiée en $y$ ou $z$), et, à l’autre, la dérivée même de $\varepsilon$ en $x,$ d’un ordre de petitesse plus élevé que celui de $\varepsilon$ à raison de la graduelle variation supposée du régime. Ces dérivées de $\mathrm {T} _{z},\mathrm {T} _{y}$ seront donc négligeables, et, comme les accélérations transversales $v',w'$ le sont aussi, les deux dernières équations (13), débarrassées de tout terme rappelant le mouvement, signifieront que la pression moyenne $p$ varie hydrostatiquement sur toute l’étendue de la section normale $\sigma .$ S’il y a une surface libre, où $p$ devra égaler la pressions constante de l’atmosphère, son profil en travers, limite supérieur de $\sigma ,$ sera donc horizontal.

» 28. Dans tous les cas, la dérivée en $x$ de $p,$ ou de $-\mathrm {N} _{x},$ indépendante de $y$ et $z,$ se réduit à celle de la pression moyenne $p_{0},$ mesurée le long de l’axe des $x,$ entre les deux sections normales d’abscisses $x,$ $x+dx.$ Nous supposerons qu’on prenne cet axe, tangent, dans le cas d’un tuyau, à l’élément même $ds,$ compris entre ces deux sections, de l’axe du tuyau, et, dans le cas d’un canal découvert, à l’élément analogue $ds$ d’une coupe longitudinale de la surface libre, telle qu’elle est à l’époque $t.$ Alors, si, par analogie avec $p_{0},$ l’on appelle $\beta _{0}$ l’altitude des divers points de l’axe du tuyau ou de la coupe longitudinale de la surface libre, la dérivée $-{\frac {d\beta _{0}}{ds}}$ sera la pente de l’élément $ds,$ sinus de son angle avec le plan horizontal^[1], et l’on aura, dans la première équation (13), $\mathrm {X} =-g{\tfrac {d\beta _{0}}{ds}}.$ Par suite, dans cette première équation (13), la somme des deux termes en $\mathrm {N} _{x}$ et en $\mathrm {X} ,$ divisés par $\rho g,$ pourra s’écrire simplement $\textstyle -{\frac {d}{ds}}\left(\beta _{0}+\int {\tfrac {dp_{0}}{\rho g}}\right)\ ;$ et, dans le

1. En Hydraulique c’est ce sinus, non la tangente correspondante, qu’il y a lieu de considérer, et auquel il convient de réserver le nom de pente : il reste le mot inclinaison pour désigner la tangente.