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» Il suffit de supposer $f(\eta ,\zeta )=0$ à la surface libre, pour que la condition (26) au contour comprenne celle qui régit $u$ sur une telle surface. L’on voit d’ailleurs que cette dernière condition sera satisfaite d’elle-même, si l’on peut former la solution pour le cas d’un tuyau plein ayant sa section composée de la proposée et de sa symétrique par rapport à son bord supérieur (ou profil en travers horizontal de la surface libre), avec symétrie de structure des parois de part et d’autre ; car la fonction de point $u$ y prendre naturellement mêmes valeurs de part et d’autre de cette droite, sur laquelle s’annulera dès lors sa dérivée suivant le sens normal, continue dans tout l’intérieur du contour total $2\chi .$

» 30. La vitesse absolue $u_{0},$ au point du contour où $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0},$ s’obtient en appliquant le principe des quantités de mouvement, suivant les $x,$ à la tranche fluide comprise entre les deux sections d’abscisses $x,x+dx,$ ou, ce qui revient au même, en multipliant (25) par $d\sigma ={\tfrac {\sigma ^{2}}{\chi ^{2}}}d\eta d\zeta$ et puis intégrant dans toute l’étendue de la section $\sigma ,$ sans négliger de convertir les deux premiers termes, à la manière ordinaire, en intégrales sur le contour de $\sigma ,$ que la relation (26) conduit à ne prendre que pour la partie mouillée $\chi$ de ce contour. L’introduction sous les signes $\textstyle \int$ des rapports ${\tfrac {d\chi }{\chi }},$ ${\tfrac {d\sigma }{\sigma }},$ indépendants des dimensions absolues de $\sigma ,$ donne enfin, après quelques transformations évidentes,

(27)

$\mathrm {B} _{0}u_{0}^{2}\int _{\chi }f\left(\eta ,\zeta \right){\frac {d\chi }{\chi }}={\frac {\sigma }{\chi }}\left(1-\int _{\sigma }{\frac {u'}{g}}{\frac {d\sigma }{\sigma }}\right).$

» Le coefficient de $u_{0}^{2},$ dans le premier terme, est tout connu, puisque la fonction $f\left(\eta ,\zeta \right)$ s’y trouve donnée en $\eta$ ou $\zeta$ le long du contour mouillé $\chi .$ Cette formule fera donc connaître $u_{0}$ dès que la pente motrice $\mathrm {I}$ et les accélérations $u'$ seront données. Puis le système (25), (26) déterminera complètement le rapport ${\tfrac {u}{u_{0}}},$ déjà égal à 1 au point du contour mouillé où $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}\ ;$ et, par suite, il déterminera la vitesse $u$ pour tous les points de la section. En effet, s’il pouvait admettre deux solutions distinctes, leur différence, que j’appellerai $\mu \left(\eta ,\zeta \right),$ vérifierait évidemment les deux équations

${\frac {d}{d\eta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\eta }}\right)+{\frac {d}{d\zeta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\zeta }}\right)=0,\quad {\text{sur le contour}}\quad \mathrm {F} {\frac {d\mu }{d\nu }}=0.$