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Or la première, multipliée par $\mu d\eta d\zeta ,$ et intégrée par parties dans toute l’étendue d’une section, en y détachant à la manière ordinaire des intégrales prises sur le contour, donne, vu la seconde, un premier membre tout composé d’éléments non positifs, et dont l’annulation identique exige que l’on pose $\mu ={\text{const.}}$ dans tout l’intérieur de la section. Or cette différence $\mu$ s’annule au point ou $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}$ et où elle se réduit à 1-1. Donc elle s’annule partout.

§ VIII. — Lois générales du régime uniforme dans des lits semblables à grande section.

» 31. Mais bornons-nous au cas du régime uniforme, où sont nulles les accélérations moyennes locales $u'.$ Alors l’équation (27) se réduit à

(28)

$\mathrm {B} _{0}u_{0}^{2}\int _{\chi }f\left(\eta ,\zeta \right){\frac {d\chi }{\chi }}={\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} .$

Servons-nous-en pour éliminer la pente motrice $\mathrm {I}$ de (25), et puis divisons (25) et (26) par $k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}.$ Le système (25), (26) ne contiendra plus comme fonction inconnue, au lieu de ${\tfrac {u}{u_{0}}},$ que l’expression ${\tfrac {1}{k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}}\left({\tfrac {u}{u_{0}}}-1\right),$ tenue de s’annuler au point du contour mouillé où $\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0}\ ;$ et, d’ailleurs, dans ces équations (25), (26) qui la déterminent, il ne figurera plus ni $k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}},$ ni le rayon moyen. La nouvelle fonction inconnue dépendra donc uniquement des deux coordonnées relatives $\eta ,\zeta .$ Désignons-la par $\mathrm {F} _{1}\left(\eta ,\zeta \right)\ ;$ ce qui revient à poser, comme formule exprimant le mode de distribution des vitesses,

(29)

${\frac {u}{u_{0}}}=1+k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}\mathrm {F} _{1}\left(\eta ,\zeta \right)\ ;$

et la fonction $\mathrm {F} _{1}$ sera définie par le système

(30)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d}{d\eta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\eta }}\right)+{\frac {d}{d\zeta }}\left(\mathrm {F} {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\zeta }}\right)+\int _{\chi }f{\frac {d\chi }{\chi }}=0,\\&{\text{(sur le contour)}}\ \mathrm {F} {\frac {d\mathrm {F} _{1}}{d\nu }}=-f,\ {\text{(au point de }}\chi {\text{ où }}\mathrm {B} =\mathrm {B} _{0})\ \mathrm {F} _{1}=0.\end{aligned}}\right.$

» 32. Prenons les moyennes des deux membres de (29) dans toute l’étendue de la section $\sigma \ ;$ et, en appelant $\mathrm {U}$ la vitesse moyenne ou vitesse