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de débit, ${\mathfrak {m}}\mathrm {F} ,$ la valeur moyenne de $\mathrm {F} _{1}\left(\eta ,\zeta \right)$ dans toute cette étendue, il viendra

(31)

${\frac {\mathrm {U} }{u_{0}}}=1+k{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}{\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1},$

équation qui permet d’éliminer $u_{0}$ de (28) et de relier ainsi la vitesse moyenne $\mathrm {U}$ au produit de la pente mortice $\mathrm {I}$ par le rayon moyen. Si nous appelons ${\mathfrak {m}}f,$ dans (28), la valeur moyenne de $f\left(\eta ,\zeta \right)$ le long du contour mouillé $\chi$ et que nous posions, pour abréger,

(32)

$b={\frac {\mathrm {B} _{0}{\mathfrak {m}}f}{\left(1+k{\sqrt {B_{0}}}{\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}\right)^{2}}},$ ou ${\frac {1}{\sqrt {b}}}={\frac {1}{\sqrt {{\mathfrak {m}}f}}}{\frac {1}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}}}}+{\frac {k{\mathfrak {m}}\mathrm {F} _{1}}{\sqrt {{\mathfrak {m}}f}}},$

nous aurons ainsi la formule usuelle des hydrauliciens,

(33)

$b\mathrm {U} ^{2}={\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} ,$ ou $\mathrm {U} ={\frac {1}{\sqrt {b}}}{\sqrt {{\frac {\sigma }{\chi }}\mathrm {I} }}.$

» D’après la seconde relation (32), l’inverse de ${\sqrt {b}},$ c’est-à-dire le coefficient indiquant combien de fois la vitesse $\mathrm {U}$ contient la racine carrée du produit de la pente par le rayon moyen, se compose d’une première partie réciproquement proportionnelle à ${\sqrt {\mathrm {B} _{0}}},$ ou variable en sens contraire du degré de rugosité des parois, et d’une autre partie indépendante de ce degré. L’étude des cas simples d’une section rectangulaire large et d’une section circulaire ou demi-circulaire, entre lesquels se trouvent à peu près compris tous ceux de la pratique, nous montrera que ce coefficient, ou même l’inverse $b$ de son carré, est peut variable avec la forme de la section.

» 33. Si $u_{m}$ désigne la vitesse maxima, et $\eta _{0},$ $\zeta _{0}$ les coordonnées relatives du point de $\sigma$ où elle se produit, la formule (29), retranchée de ce qu’elle devient en ce point, puis divisée par ${\sqrt {\mathrm {B} _{0}{\mathfrak {m}}f}},$ donnera, vu l’égalité de $u_{0}{\sqrt {\mathrm {B} _{0}{\mathfrak {m}}f}}$ à $\mathrm {U} {\sqrt {b}}$ d’après (28) et (33),

(34)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {b}}}}&={\frac {k}{\sqrt {{\mathfrak {m}}f}}}\left[\mathrm {F} _{1}\left(\eta _{0},\zeta _{0}\right)-\mathrm {F} _{1}\left(\eta ,\zeta \right)\right]\\&={\frac {k}{\sqrt {{\mathfrak {m}}f}}}\left[\mathrm {F} _{1}\left(\eta _{0},\zeta _{0}\right)-\mathrm {F} _{1}\left({\frac {\chi \gamma }{\sigma }},{\frac {\chi \gamma }{\sigma }}\right)\right].\end{aligned}}\right.$

» Cette relation, où les deux derniers membres sont indépendants du degré absolu de rugosité des parois, a précisément la forme de celle que