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l’ensemble des observations a suggérée à Darcy et à M. Bazin pour représenter le mode de variation des vitesses aux divers points des sections^[1].

↑ Ces lois ne s’étendent qu’exceptionnellement au cas de lits dissemblables.
  Toutefois, M. Bazin a cru pouvoir l’étendre au cas où l’on fait varier la forme même de la section par l’agrandissement de $y$ et $z$ dans deux rapports différents ; ce qui, étant supposée l’homogénéité des parois, donnerait une seule formule pour toutes les sections elliptiques, une seule pour toutes les sections rectangulaires, etc. (Recherches hydrauliques. p. 245). Or, quand il s’agit d'écoulements bien continus à l’intérieur de tubes soit elliptiques, soit rectangulaires, une intégration exacte est possible, comme on peut voir par les paragraphes v et vi d’un Mémoire Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides. au t. xiii (année 1868) du Journal de Mathématiques pures et appliquées, de Liouville. Et l’on reconnait qu’alors le quotient ${\tfrac {u_{m}-u}{\mathrm {U} }},$ ou, par suite, le quotient ${\tfrac {u}{\mathrm {U} }},$ ne dépendent bien, en effet, dans le tube elliptique, que des rapports de $y,$ $z$ aux demi-dimensions correspondantes $b,$ $c$ de la section, mais qu’ils dépendent, en outre, dans le tube rectangulaire, du rapport même ${\tfrac {c}{b}}$ de ces demi-dimensions entre elles. Or s’ils sont, de la sorte, pour la section rectangulaire, fonctions de trois variables dans le cas le plus simple, à plus forte raison doivent-ils l’être dans les autres, c’est-à-dire quand le mouvement devient tumultueux ou agité.
  Voici, du reste, une démonstration presque intuitive de ce fait, que, dans le cas de mouvements bien continus, le rapport ${\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} }}$ ne comporte pas une expression de la forme $\varphi \left(\eta ,\zeta \right),$ avec $\eta ={\tfrac {\gamma }{b}},$ $\zeta ={\frac {z}{c}}$ et les paramètres $b,$ $c$ arbitraires, sauf quand la section du tube considéré est elliptique. Comme l’équation indéfinie (23) revient alors, vu la constance de $\varepsilon$ et dans l’hypothèse $u'=0,$ à poser $\Delta _{2}u={\text{const.}},$ ou, par suite, $\Delta _{2}\varphi ={\text{const.}},$ la substitution, à $y$ et à $z,$ des variables supposées $\eta ,$ $\zeta$ de la fonction $\varphi$ donne
${\frac {1}{b^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{d\eta ^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{d\zeta ^{2}}}={\text{const.}}$

  Or, différentions cette dernière relation, soit en $\eta ,$ soit en $\zeta \ ;$ puis faisons alternativement tendre vers zéro, dans les résultats, l’inverse de $c^{2}$ et celui de $b^{2}.$ Il viendra

${\frac {d^{3}\varphi }{\left(d\eta ^{3},d\eta ^{2}d\zeta ,d\eta d\zeta ^{2},d\zeta ^{3}\right)}}=0.$

Donc la fonction $\varphi$ a ses dérivées partielles troisièmes nulles, et elle est un polynôme du second degré. Or elle ne peut vérifier la condition à la paroi, savoir $u=0$ dans le cas considéré de mouvements bien continus, que si l’on a $\varphi ={\text{const.}}$ sur tout le contour de la section du tube. Par conséquent, ce contour, d’ailleurs fermé a son équation, $\varphi ={\text{const.}},$ du second degré en $\eta ,$ $\zeta ,$ et il se réduit à une ellipse.

[1] Ces lois ne s’étendent qu’exceptionnellement au cas de lits dissemblables.
Toutefois, M. Bazin a cru pouvoir l’étendre au cas où l’on fait varier la forme même de la section par l’agrandissement de $y$ et $z$ dans deux rapports différents ; ce qui, étant supposée l’homogénéité des parois, donnerait une seule formule pour toutes les sections elliptiques, une seule pour toutes les sections rectangulaires, etc. (Recherches hydrauliques. p. 245). Or, quand il s’agit d'écoulements bien continus à l’intérieur de tubes soit elliptiques, soit rectangulaires, une intégration exacte est possible, comme on peut voir par les paragraphes v et vi d’un Mémoire Sur l’influence des frottements dans les mouvements réguliers des fluides. au t. xiii (année 1868) du Journal de Mathématiques pures et appliquées, de Liouville. Et l’on reconnait qu’alors le quotient ${\tfrac {u_{m}-u}{\mathrm {U} }},$ ou, par suite, le quotient ${\tfrac {u}{\mathrm {U} }},$ ne dépendent bien, en effet, dans le tube elliptique, que des rapports de $y,$ $z$ aux demi-dimensions correspondantes $b,$ $c$ de la section, mais qu’ils dépendent, en outre, dans le tube rectangulaire, du rapport même ${\tfrac {c}{b}}$ de ces demi-dimensions entre elles. Or s’ils sont, de la sorte, pour la section rectangulaire, fonctions de trois variables dans le cas le plus simple, à plus forte raison doivent-ils l’être dans les autres, c’est-à-dire quand le mouvement devient tumultueux ou agité.
Voici, du reste, une démonstration presque intuitive de ce fait, que, dans le cas de mouvements bien continus, le rapport ${\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} }}$ ne comporte pas une expression de la forme $\varphi \left(\eta ,\zeta \right),$ avec $\eta ={\tfrac {\gamma }{b}},$ $\zeta ={\frac {z}{c}}$ et les paramètres $b,$ $c$ arbitraires, sauf quand la section du tube considéré est elliptique. Comme l’équation indéfinie (23) revient alors, vu la constance de $\varepsilon$ et dans l’hypothèse $u'=0,$ à poser $\Delta _{2}u={\text{const.}},$ ou, par suite, $\Delta _{2}\varphi ={\text{const.}},$ la substitution, à $y$ et à $z,$ des variables supposées $\eta ,$ $\zeta$ de la fonction $\varphi$ donne
${\frac {1}{b^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{d\eta ^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {d^{2}\varphi }{d\zeta ^{2}}}={\text{const.}}$

Or, différentions cette dernière relation, soit en $\eta ,$ soit en $\zeta \ ;$ puis faisons alternativement tendre vers zéro, dans les résultats, l’inverse de $c^{2}$ et celui de $b^{2}.$ Il viendra

${\frac {d^{3}\varphi }{\left(d\eta ^{3},d\eta ^{2}d\zeta ,d\eta d\zeta ^{2},d\zeta ^{3}\right)}}=0.$

Donc la fonction $\varphi$ a ses dérivées partielles troisièmes nulles, et elle est un polynôme du second degré. Or elle ne peut vérifier la condition à la paroi, savoir $u=0$ dans le cas considéré de mouvements bien continus, que si l’on a $\varphi ={\text{const.}}$ sur tout le contour de la section du tube. Par conséquent, ce contour, d’ailleurs fermé a son équation, $\varphi ={\text{const.}},$ du second degré en $\eta ,$ $\zeta ,$ et il se réduit à une ellipse.

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