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§ XII. — Lois de deuxième approximation du régime uniforme dans un tuyau circulaire, telles qu’elles résultent des récents observations de M. Bazin.

» 44. Mais passons justement, grâce aux récentes expériences de M. Bazin, à cette approximation plus élevée pour le cas de la section circulaire ou demi-circulaire. Les expériences dont il s’agit ont consisté dans la mesure des vitesses, par le tube de Pitot-Darcy, au centre et aux ${\tfrac {1}{8}},$ ${\tfrac {2}{8}},$ ${\tfrac {3}{8}},$ ${\tfrac {4}{8}},$ ${\tfrac {5}{8}},$ ${\tfrac {6}{8}},$ ${\tfrac {7}{8}},$ ${\tfrac {15}{16}}$ des rayons $\mathrm {R} ,$ dans une conduite en ciment très lissé (donnant $b=0,000166$), de 0^m,80 de diamètre et 80^m de longueur, sur les 40 derniers mètres où régnait l’uniformité du régime ; car le rapport de $u_{m}$ à $\mathrm {U}$ y était invariable, 1,1675 à très peu près^[1].

» Comme nous déterminons notre coefficient $k$ par la comparaison de la deuxième formule (42) aux résultats d’observation, et que le terme principal ${\tfrac {2}{3}}k\tau ^{3},$ seul connu de forme théoriquement, du second membre de cette formule, doit exprimer le mieux possible la fonction empirique de $\tau$ (voisine de $21{\sqrt {2}}\tau ^{3}$) indiquée par les expériences pour représenter le second membre tout entier, il sera naturel de réduire au minimum d’importance le terme correctif $k\Psi (\tau ),$ en annulant sa valeur moyenne par un choix convenable de $k.$ Et les formules (42) acquerront d’ailleurs ainsi leur plus haut degré de simplicité ; car l’intégrale définie qui y figure s’évanouira.

» Mais, d’abord, divisons la seconde équation (42) par ${\sqrt {2}},$ comme nous avons fait pour avoir la deuxième (43), et appelons $21\tau ^{3}+\phi (\tau )$ l’expression empirique du second membre, où $\phi (\tau )$ la petite correction indiquée par les nouvelles expériences à l’expression approchée $21\tau ^{3}$ obtenue antérieurement. Nous aurons

(45)

${\frac {u_{m}-u}{\mathrm {U} {\sqrt {2}}b}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}k\tau ^{3}+{\frac {k}{\sqrt {2}}}\Psi (\tau )=21\tau ^{3}+\phi (\tau ).$

» Les très nombreuses différences $u_{m}-u$ de vitesse, obtenues par

1. C’est au milieu et aux trois quarts de la longueur qu’ont eu lieu les observations utilisées ici ; au premier quart, après un parcours de vingt-cinq fois le diamètre, le rapport de $u_{m}$ à $\mathrm {U}$ n’était encore que $1,12.$