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LEÇON DIXIÈME.

Des équations dérivées et de leur usage pour la transformation des fonctions. Analyse des sections angulaires.

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Jusqu’à présent nous n’avons considéré les fonctions dérivées que comme servant à la formation des séries d’où elles tirent leur origine ; mais ces fonctions, considérées en elles-mêmes, offrent un nouveau système d’opérations algébriques, et sont, pour ainsi dire, la clef de la transformation des fonctions.

Lorsqu’une fonction d’une variable est présentée sous deux formes différentes, en égalant ces expressions, on a ce qu’on appelle une équation identique, à cause de l’identité de la valeur, laquelle doit par conséquent avoir lieu indépendamment de la variable, c’est-à-dire, quelle que soit cette variable ; ainsi elle aura lieu en attribuant à la variable un accroissement quelconque $i.$

Soit

$f(x)=0$

une pareille équation identique ; on aura donc aussi

$f(x+i)=0,$

savoir, en développant,

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots =0,$

quel que soit $i\,;$ donc on aura séparément

$f(x)=0,\quad f'(x)=0,\quad f''(x)=0,\quad \ldots \,;$