d’où il suit que l’on aura la même équation en prenant les fonctions dérivées d’un ordre quelconque.
Supposons maintenant une équation comme
entre deux variables et par laquelle l’une doive être fonction de Il est évident qu’en regardant comme une fonction de déterminée par cette équation, l’équation
sera identique et aura lieu indépendamment de donc l’équation subsistera aussi entre les fonctions dérivées d’un ordre quelconque.
En prenant donc les fonctions dérivées premières, secondes, etc., de chaque terme, on aura autant de nouvelles équations qui auront lieu en même temps que l’équation primitive ; par conséquent, toute combinaison de ces équations aura lieu aussi à la fois.
Nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc., ou simplement équations primes, secondes, etc., non seulement les équations dérivées qu’on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes d’une équation regardée comme primitive, mais encore les équations qu’on pourra former par une combinaison quelconque de l’équation primitive et de son équation prime, ou de ces deux-ci et de l’équation seconde, etc.
Ainsi, l’équation primitive contenant et l’équation dérivée du premier ordre, ou équation prime, contiendra et l’équation dérivée du second ordre, ou équation seconde, contiendra et et ainsi de suite.
Si, au lieu de regarder comme fonction de on regardait au contraire comme fonction de l’équation prime serait entre et l’équation seconde serait entre et et ainsi de suite ; et, par le principe exposé dans la Leçon VII, on pourra toujours transformer un de ces systèmes d’équations dérivées dans l’autre.
Pour montrer d’abord par quelques exemples l’usage des équations
