ces suppositions ; or elle devient dans ce cas et, comme est on aura
L’équation sera donc simplement
et, passant de là aux exponentielles,
étant, comme nous le supposons toujours, le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Remettant pour et leurs valeurs et on aura cette formule remarquable
laquelle, à cause de l’ambiguité du radical donne également celle-ci
et ces deux, combinées ensemble, suffisent pour déterminer les valeurs de et On aura, en effet, après les avoir ajoutées ou retranchées,
Ainsi les sinus et cosinus se trouvent exprimés par des exponentielles imaginaires, ce qu’on peut regarder comme l’une des plus belles découvertes analytiques qu’on ait faites dans ce siècle.
Ces formules peuvent aussi se déduire immédiatement de la comparaison des séries qui expriment les fonctions et et que nous avons trouvées plus haut (Leçons IV et VI). C’est de cette manière qu’Euler les a données dans le Tome VII des Miscellanea Berolinensia ; mais, dans son Introductio, il les déduit des expressions algébriques des sinus et cosinus des angles multiples, par une réduction ingénieuse, mais dépendante de la considération des quantités infinies
