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Or

${\begin{aligned}&\left(u^{-m}\right)'=-mu^{-m-1},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{4}\right)'\,=\left(-mu^{-m+3}\right)'\,=m(m-3)u^{-m+2},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{6}\right)''=\left(-mu^{-m+5}\right)''=-m(m-5)(m-4)u^{-m+3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi la série deviendra

$u^{-m}-{\frac {m}{2p}}u^{-m+1}+{\frac {m(m-3)}{2.(2p)^{2}}}u^{-m+2}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.(2p)^{3}}}u^{-m+3}+\ldots .$

Faisons maintenant $u=-{\frac {1}{2p}},$ et l’on aura la série

$(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots ,$

laquelle, étant continuée seulement tant qu’il y aura des puissances négatives de ${\frac {1}{2p}},$ c’est-à-dire des puissances positives de $2p,$ exprimera la valeur de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},$

à cause de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)=1.$

Ainsi, dans cet état, la série dont il s’agit donnera la valeur de $2\cos mx,$ ce qui s’accorde avec la formule de la Table (A).

Mais, si l’on continue la série à l’infini, alors elle ne donnera que la valeur de

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{-m},$

puisque $p-{\sqrt {p^{2}-1}}$ est la plus petite des deux racines ; ou, ce qui revient au même, elle donnera la valeur de

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$