Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(u^{-m}\right)'=-mu^{-m-1},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{4}\right)'\,=\left(-mu^{-m+3}\right)'\,=m(m-3)u^{-m+2},\\&\left(\left(u^{-m}\right)'u^{6}\right)''=\left(-mu^{-m+5}\right)''=-m(m-5)(m-4)u^{-m+3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f01e70204ab6da3b21028493beb9ca1255bb29)
Ainsi la série deviendra
![{\displaystyle u^{-m}-{\frac {m}{2p}}u^{-m+1}+{\frac {m(m-3)}{2.(2p)^{2}}}u^{-m+2}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3.(2p)^{3}}}u^{-m+3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9432fba1adfc6be17edb2c970fe178f20a6dda2d)
Faisons maintenant
et l’on aura la série
![{\displaystyle (2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fa3e753d81c1f795b3ff424fd88e3903b74164)
laquelle, étant continuée seulement tant qu’il y aura des puissances négatives de
c’est-à-dire des puissances positives de
exprimera la valeur de
![{\displaystyle \left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}+\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2ca9fb725403cabea9c19d5ac889800ef64f81)
à cause de
![{\displaystyle \left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116b592c10d1c046bae68ec972f082cd25ae8100)
Ainsi, dans cet état, la série dont il s’agit donnera la valeur de
ce qui s’accorde avec la formule de la Table (A).
Mais, si l’on continue la série à l’infini, alors elle ne donnera que la valeur de
![{\displaystyle \left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{-m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcde1278fa5c70597ef7fa1c394bdebd43001e17)
puisque
est la plus petite des deux racines ; ou, ce qui revient au même, elle donnera la valeur de
![{\displaystyle \left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8d00483d1595f7ed9c9d2ca4fbdde7a6dc1260)