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Pour nous convaincre en effet que la série précédente, prise dans toute son étendue, n’est que le développement de cette quantité, nous allons chercher ce développement par une marche directe, ce qui servira d’exemple de la manière d’employer les fonctions dérivées dans ces sortes de recherches.

Supposons donc qu’il s’agisse de développer l’expression

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}$

dans une série descendante de la forme

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots \,;$

si l’on divise de part et d’autre par $p^{m},$ et qu’on fasse ${\frac {1}{p}}=z,$ on aura

$\left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)^{m}=\mathrm {A} +\mathrm {B} z+\mathrm {C} z^{2}+\mathrm {D} z^{3}+\ldots ,$

où l’on voit que la série ne peut avoir que des puissances paires de $z.$

Ainsi, en faisant $u=z^{2},$ on aura la fonction

$\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m}$

à développer suivant les puissances de $u.$

Donc, par la formule générale donnée à la fin de la Leçon IX, si l’on fait

$f(u)=\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m},$

on aura

$\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m}=f+uf'+{\frac {u^{2}}{2}}f''+\ldots ,$

où $f,f',f'',\ldots$ sont les valeurs de $f(u),f'(u),f''(u),\ldots$ lorsque $u=0,$ et forment ici les coefficients $\mathrm {A,C} ,\ldots .$

Ainsi l’on trouvera d’abord $f=2^{m}\,;$ ensuite on aura

$f'=-{\frac {m}{2}}{\frac {\left(1+{\sqrt {1-u}}\right)^{m-1}}{\sqrt {1-u}}},$

et de là

$f'=-m.2^{m-2},$

et ainsi de suite.