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On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients de la série ; mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.

Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en $p$ et je la suppose égale à $y,$ ce qui me donne l’équation

$y=\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$

Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $p$ et regardant $y$ comme fonction de $p,$ on a

$y'=m\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m-1}\left(1+{\frac {p}{\sqrt {p^{2}-1}}}\right)=m{\frac {\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;$

cette équation, divisée par l’équation primitive, donne

${\frac {y'}{y}}={\frac {m}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;$

multipliant en croix et carrant, on aura

$y'^{2}\left(p^{2}-1\right)=m^{2}y^{2}.$

Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à $p,$ on obtiendra

$2y'y''\left(p^{2}-1\right)+2y'^{2}p=2m^{2}yy',$

d’où, en divisant par $2y',$ résulte cette équation du second ordre en $y$ et $p$

$m^{2}y-py'-\left(p^{2}-1\right)y''=0,$

laquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à $y$ et dégagée de radicaux, est très propre au développement de $y$ en série.

En effet, il n’y a qu’à substituer pour $y$ la série

$\mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots ,$

et par conséquent pour $y'$

$m\mathrm {A} p^{m-1}+(m-1)\mathrm {B} p^{m-2}+(m-2)\mathrm {C} p^{m-3}+\ldots ,$