On peut de cette manière avoir successivement tous les coefficients de la série ; mais on n’en aura pas la loi, ce qui est le plus essentiel.
Pour la trouver d’une manière générale, je reprends la formule en
et je la suppose égale à
ce qui me donne l’équation
![{\displaystyle y=\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06805f82bd487a0629276001fa523126af614611)
Je remarque maintenant qu’un des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radicaux. En effet, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
et regardant
comme fonction de
on a
![{\displaystyle y'=m\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m-1}\left(1+{\frac {p}{\sqrt {p^{2}-1}}}\right)=m{\frac {\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645ae2d07031ef3d21a3d3f80061d85e21d53401)
cette équation, divisée par l’équation primitive, donne
![{\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {m}{\sqrt {p^{2}-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badb6a4c057adc52bc4ebde1dadd7e8332637b9f)
multipliant en croix et carrant, on aura
![{\displaystyle y'^{2}\left(p^{2}-1\right)=m^{2}y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82da925354d280b3f73e5dcb02271bebcb7c9d4)
Prenant de nouveau les fonctions dérivées par rapport à
on obtiendra
![{\displaystyle 2y'y''\left(p^{2}-1\right)+2y'^{2}p=2m^{2}yy',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b30dc17125bada3f01d336aab99f31ccdb0e99)
d’où, en divisant par
résulte cette équation du second ordre en
et ![{\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)
![{\displaystyle m^{2}y-py'-\left(p^{2}-1\right)y''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6a9f618e56ce4e6b6ace3ad96e775cbf5c9140)
laquelle étant, comme l’on voit, linéaire par rapport à
et dégagée de radicaux, est très propre au développement de
en série.
En effet, il n’y a qu’à substituer pour
la série
![{\displaystyle \mathrm {A} p^{m}+\mathrm {B} p^{m-1}+\mathrm {C} p^{m-2}+\mathrm {D} p^{m-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ab2cf88b7cac7a855840be9be9e2f2116c8876)
et par conséquent pour ![{\displaystyle y'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a535de94a2183d7130731eab8a83531d7c35c6b)
![{\displaystyle m\mathrm {A} p^{m-1}+(m-1)\mathrm {B} p^{m-2}+(m-2)\mathrm {C} p^{m-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dd8d7aaa0c70fcda0595af51971e9a5e782e86c)