et pour
![{\displaystyle m(m-1)\mathrm {A} p^{m-2}+(m-1)(m-2)\mathrm {B} p^{m-3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4372a11a175f82fc33a73e74a04e79249581e519)
Ordonnant les termes suivant les puissances de
on aura
![{\displaystyle \left[m^{2}\mathrm {A} -m\mathrm {A} -m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dca5aadda6f1993a08235696c7964a65579a7f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left[m^{2}\mathrm {B} -(m-1)\mathrm {B} -(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-1}\\&+\left[m^{2}\mathrm {C} -(m-2)\mathrm {C} -(m-2)(m-3)\mathrm {C} +m(m-1)\mathrm {A} \right]p^{m-2}\\&+\left[m^{2}\mathrm {D} -(m-3)\mathrm {D} -(m-3)(m-4)\mathrm {D} +(m-1)(m-2)\mathrm {B} \right]p^{m-3}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef26ff541b7bdc16572a861c078a4c07227614f0)
Comme cette équation doit avoir lieu indépendamment de
il faudra égaler à zéro le coefficient de chaque terme.
Le coefficients de
disparaissant de lui-même, c’est une marque que le coefficient
demeure indéterminé.
Le coefficient de
se réduit à
qui ne peut devenir nul à moins de faire
Or,
étant nul, il est facile de voir que les coefficients de
ne pourront aussi devenir nuls qu’en faisant
Maintenant le coefficient de
se réduit à
![{\displaystyle m^{2}\mathrm {C} -(m-2)^{2}\mathrm {C} +m(m-1)\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e391712dfd2152b7731baa737f6aee875ee9a7)
celui de
se réduit de même à
![{\displaystyle m^{2}\mathrm {E} -(m-4)^{2}\mathrm {E} +(m-2)(m-3)\mathrm {C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2dc68cdc29b81b4becd071531568f767b0b5eb)
et ainsi des autres.
On aura donc, en réduisant, les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}4(m-1)\mathrm {C} +&m(m-1)\mathrm {A} =0,\\8(m-2)\mathrm {E} +&(m-2)(m-3)\mathrm {C} =0,\\12(m-3)\mathrm {G} +&(m-4)(m-5)\mathrm {E} =0,\\.\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43210c303bef3ef621665e188d01e5fef21431ed)
lesquelles donnent la loi suivant laquelle les coefficients
dépendent les uns des autres.