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On tire de ces équations

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =-{\frac {m\mathrm {A} }{4}},\\&\mathrm {E} =-{\frac {(m-3)\mathrm {C} }{8}}={\frac {m(m-3)\mathrm {A} }{4.8}},\\&\mathrm {G} =-{\frac {(m-4)(m-5)\mathrm {E} }{12(m-3)}}=-{\frac {m(m-4)(m-5)\mathrm {A} }{4.8.122}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Or nous avons vu que le premier coefficient $\mathrm {A}$ est égal à $2^{m}\,;$ ainsi on aura ce développement

$\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=$

$(2p)^{m}-m(2p)^{m-2}+{\frac {m(m-3)}{2}}(2p)^{m-4}-{\frac {m(m-4)(m-5)}{2.3}}(2p)^{m-6}+\ldots ,$

qui s’accorde avec la série trouvée ci-dessus.

Cherchons de même le développement de $\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}.$ Comme cette expression ne diffère de celle que nous venons de traiter que par le signe du radical, lequel ne se trouve plus dans l’équation dérivée en $y$ dont nous avons fait usage, il s’ensuit que la même formule, que nous venons d’obtenir, pourra encore s’appliquer à ce développement. Il faut seulement remarquer que, comme les premiers termes du radical ${\sqrt {p^{2}-1}}$ sont $p-{\frac {1}{2p}}+\ldots ,$ le premier terme du développement dont il s’agit sera ${\frac {1}{(2p)^{m}}},$ de sorte qu’ici il faudra prendre $m$ négativement et, comme l’équation dérivée en $y$ ne contient que $m^{2},$ on aura nécessairement la même série en $y$ changeant seulement $m$ en $-m,$ ce qui suit d’ailleurs aussi de ce que

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=\left(p+{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{-m}\,;$

on aura donc

$\left(p-{\sqrt {p^{2}-1}}\right)^{m}=$

$(2p)^{-m}+m(2p)^{-m-2}+{\frac {m(m+3)}{2}}(2p)^{-m-4}+{\frac {m(m+4)(m+5)}{2.3}}(2p)^{-m-6}+\ldots ,$

Si maintenant on réunit ces deux séries, on aura la valeur de $2\cos mx\,;$