n’étant que du second degré, ne peut avoir que les deux racines
et
donc cette équation a toutes ses racines communes avec
![{\displaystyle y^{2m}-2y^{m}\cos mx+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa6c86348aa2c3eae5d49f4f7a7991dcdb0d4f3)
par conséquent elle est nécessairement un diviseur de celle-ci.
Soit
![{\displaystyle mx=\varphi ,\quad {\text{donc}}\quad x={\frac {\varphi }{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0e847eb75e810234a1071302dfa76731620fd4)
il suit de ce qu’on vient de démontrer que la formule
![{\displaystyle y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4bc749cc95d6a7d6680341fd6022afb8318755)
a pour diviseur celle-ci :
![{\displaystyle y^{2}-2y\cos {\frac {\varphi }{m}}+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67f4fd511eb1bbb50a3a2a855112dbe4b29915a)
étant un nombre quelconque entier.
Or, si
est la circonférence ou l’angle de quatre droites, on sait que
étant un nombre quelconque entier ; ainsi, en mettant
à la place de
et faisant successivement
on en conclura que la formule
![{\displaystyle y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4bc749cc95d6a7d6680341fd6022afb8318755)
a pour diviseurs les
formules suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y^{2}-2\cos {\frac {\varphi }{m}}.y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {\ \ c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {2c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {3c}{m}}\right).y+1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {m-1}{m}}c\right).y+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffc747a218ba17d5c2388e5c00456c62b9613b1)