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n’étant que du second degré, ne peut avoir que les deux racines $a$ et ${\frac {1}{a}}\,;$ donc cette équation a toutes ses racines communes avec

$y^{2m}-2y^{m}\cos mx+1=0\,;$

par conséquent elle est nécessairement un diviseur de celle-ci.

Soit

$mx=\varphi ,\quad {\text{donc}}\quad x={\frac {\varphi }{m}}\,;$

il suit de ce qu’on vient de démontrer que la formule

$y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1$

a pour diviseur celle-ci :

$y^{2}-2y\cos {\frac {\varphi }{m}}+1,$

$m$ étant un nombre quelconque entier.

Or, si $c$ est la circonférence ou l’angle de quatre droites, on sait que $\cos \varphi =\cos(\varphi +nc),$ $n$ étant un nombre quelconque entier ; ainsi, en mettant $\varphi +nc$ à la place de $\varphi ,$ et faisant successivement $n=0,1,2,\ldots (m-1),$ on en conclura que la formule

$y^{2m}-2y^{m}\cos \varphi +1$

a pour diviseurs les $m$ formules suivantes :

${\begin{aligned}&y^{2}-2\cos {\frac {\varphi }{m}}.y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {\ \ c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {2c}{m}}\right).y+1,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {3c}{m}}\right).y+1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&y^{2}-2\cos \left({\frac {\varphi }{m}}+{\frac {m-1}{m}}c\right).y+1.\end{aligned}}$