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d’où l’on tire, en réduisant,

$my\sin x+y'\cos x=0,$

équation dérivée du premier ordre, qui a l’avantage de ne plus contenir la puissance indéterminée de $\cos x.$

Supposons maintenant, en général,

$y=\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\mathrm {D} \cos(n-3)x+\ldots ,$

les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant indéterminés, ainsi que $n.$ L’équation précédente deviendra par cette substitution

$m\left[\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\ldots \right]\sin x$

$-\left[n\mathrm {A} \sin nx+(n-1)\mathrm {B} \sin(n-1)x+(n-2)\mathrm {C} \sin(n-2)x+\ldots \right]\cos x=0,$

savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :

${\begin{aligned}&+\left[m\mathrm {A} -n\mathrm {A} \right]\sin(n+1)x\\&+\left[m\mathrm {B} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin nx\\&+\left[m\mathrm {C} -m\mathrm {A} -(n-2)\mathrm {C} -n\mathrm {A} \right]\sin(n-1)x\\&+\left[m\mathrm {D} -m\mathrm {B} -(n-3)\mathrm {D} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin(n-2)x\\&+\left[m\mathrm {E} \,-m\mathrm {C} -(n-4)\mathrm {E} -(n-2)\mathrm {C} \right]\sin(n-3)x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}$

Égalant donc à zéro chacun des coefficients de ces différents termes, on aura

${\begin{aligned}(m-n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+2)\mathrm {C} -(m+n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+3)\mathrm {D} -(m+n-1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+4)\mathrm {E} -(m+n-2)\mathrm {C} =0,&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La première donne d’abord $n=m,$ et, substituant cette valeur, les