d’où l’on tire, en réduisant,
![{\displaystyle my\sin x+y'\cos x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b64dbdbf1d1b2ad26ebb938664b72296973c8d)
équation dérivée du premier ordre, qui a l’avantage de ne plus contenir la puissance indéterminée de ![{\displaystyle \cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d61f558e1318137e2dac63cc3d140dd258bdcaa)
Supposons maintenant, en général,
![{\displaystyle y=\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\mathrm {D} \cos(n-3)x+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58bda7bf2b9cb255ce3282081b28433f2f81771)
les coefficients
étant indéterminés, ainsi que
L’équation précédente deviendra par cette substitution
![{\displaystyle m\left[\mathrm {A} \cos nx+\mathrm {B} \cos(n-1)x+\mathrm {C} \cos(n-2)x+\ldots \right]\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fef005f6f4b61659d27d0a3745bdbfd83ec992)
![{\displaystyle -\left[n\mathrm {A} \sin nx+(n-1)\mathrm {B} \sin(n-1)x+(n-2)\mathrm {C} \sin(n-2)x+\ldots \right]\cos x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607f7264cf2f309aafa497b45de61818f7777774)
savoir, en développant les produits des sinus et cosinus, et ordonnant les termes suivant les sinus multiples :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\left[m\mathrm {A} -n\mathrm {A} \right]\sin(n+1)x\\&+\left[m\mathrm {B} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin nx\\&+\left[m\mathrm {C} -m\mathrm {A} -(n-2)\mathrm {C} -n\mathrm {A} \right]\sin(n-1)x\\&+\left[m\mathrm {D} -m\mathrm {B} -(n-3)\mathrm {D} -(n-1)\mathrm {B} \right]\sin(n-2)x\\&+\left[m\mathrm {E} \,-m\mathrm {C} -(n-4)\mathrm {E} -(n-2)\mathrm {C} \right]\sin(n-3)x\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1bcbac38f4a3baa1db77ebc78cc75baab04bd1)
Égalant donc à zéro chacun des coefficients de ces différents termes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(m-n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+2)\mathrm {C} -(m+n)\mathrm {A} =0,&\\(m-n+3)\mathrm {D} -(m+n-1)\mathrm {B} =0,&\\(m-n+4)\mathrm {E} -(m+n-2)\mathrm {C} =0,&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09fe20a85ef86be2924c44fca56638de5b091d26)
La première donne d’abord
et, substituant cette valeur, les