Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/142

autres deviennent

${\begin{aligned}\mathrm {B} =0,&\\2\mathrm {C} -2m\mathrm {A} =0,&\\3\mathrm {D} -(2m-1)\mathrm {B} =0,&\\4\mathrm {E} -(2m-2)\mathrm {C} =0,&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Ainsi le premier coefficient $\mathrm {A}$ demeure indéterminé ; ensuite on a

${\begin{aligned}&\mathrm {B} =0,\\&\mathrm {C} ={\frac {2m}{2}}\mathrm {A} ,\\&\mathrm {D} ={\frac {2m-1}{3}}\mathrm {B} ,\\&\mathrm {E} ={\frac {2m-2}{4}}\mathrm {C} ,\\&\mathrm {F} ={\frac {2m-3}{5}}\mathrm {D} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

donc,

$\mathrm {B} =0,\quad \mathrm {D} =0,\quad \mathrm {F} =0,\quad \ldots .$

Ensuite,

${\begin{aligned}&\mathrm {C} =m\mathrm {A} ,\\&\mathrm {E} ={\frac {m(m-1)}{2}}\mathrm {A} ,\\&\mathrm {G} ={\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}\mathrm {A} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On a donc en général, quel que soit l’exposant $m,$

$\cos ^{m}x=\mathrm {A} \left[\cos mx+m\cos(m-2)x+{\frac {m(m-1)}{2}}\cos(m-4)x+\ldots \right].$

Il reste à déterminer le coefficient $\mathrm {A} \,;$ pour cela, supposant $x=0,$ on obtient

$1=\mathrm {A} \left[1+m+{\frac {m(m-1)}{2}}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}+\ldots \right]$

$=\mathrm {A} (1+1)^{m}=2^{m}\mathrm {A} \,;$