Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/151

équation qui, multipliée par $y'^{2},$ devient

$y'-xy''=0,$

comme plus haut.

En commençant l’élimination par la constante $a,$ nous avions trouvé l’équation du premier ordre

$x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}-b=0\,;$

comme la constante $b$ y est dégagée des variables, il n’y a qu’à prendre la fonction dérivée de chaque terme pour avoir tout de suite l’équation du second ordre sans $a$ ni $b.$

On a ainsi

$x-{\frac {y}{y'}}-x+{\frac {xyy''}{y'^{2}}}-{\frac {x}{y'^{2}}}+{\frac {x^{2}y''}{y'^{2}}}=0.$

Cette équation se réduit à cette forme

$\left({\frac {xy''}{y'}}-1\right)\left({\frac {y}{y'}}+{\frac {x}{y'^{2}}}\right)=0.$

Comme le facteur ${\frac {y}{y'}}+{\frac {x}{y'^{2}}}$ ne renferme que la fonction prime $y',$ il ne peut donner une équation du second ordre ; ainsi, c’est l’autre facteur ${\frac {xy''}{y'}}-1$ qu’il faut employer, et l’on a

${\frac {xy''}{y'}}-1=0,\quad {\text{savoir,}}\quad xy''-y'=0,$

comme ci-dessus.

Nous verrons plus bas, lorsqu’il sera question des équations primitives singulières, l’usage du premier facteur.

Ce peu d’exemples, que j’ai choisis parmi les plus simples, suffit pour montrer comment les équations dérivées se forment des équations primitives, par l’évanouissement des constantes. On voit que, pour une équation primitive donnée, il est toujours possible de trouver une équation dérivée qui renferme autant de constantes de moins qu’il y aura d’unités dans l’ordre de cette équation, et que, de quelque manière qu’on parvienne à cette équation, et sous quelque forme qu’elle