se présente, elle sera toujours essentiellement la même. Ainsi le problème de trouver l’équation dérivée d’une primitive donnée est résolu dans toute sa généralité. Nous allons considérer maintenant le problème inverse, qui consiste à remonter des équations dérivées aux primitives.
Puisque, dans les équations à deux variables, une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l’équation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l’équation primitive, et ainsi de suite ; il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive peut contenir une constante de plus qu’une équation du premier ordre, deux constantes de plus qu’une équation du second ordre, et ainsi de suite, constantes qui seront par conséquent arbitraires ; et on voit en même temps qu’elles ne sauraient en contenir davantage, puisqu’on ne pourrait les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.
Cette proposition étant d’une grande importance dans la théorie des fonctions dérivées, et n’ayant pas encore été démontrée d’une manière tout à fait rigoureuse, nous croyons devoir en donner une démonstration directe, tirée de l’expression générale de la fonction primitive.
Si est une fonction quelconque de et qu’on dénote par les valeurs de et de ses fonctions dérivées qui répondent à et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce que nous avons démontré à la fin de la Leçon IX,
et, si l’on veut arrêter la série au terme ième, alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant
à la place de la plus grande et la plus petite valeur de depuis jusqu’à la grandeur qu’on veut attribuer à
