Maintenant, si la valeur de est donnée par une équation du premier ordre entre et on aura par cette équation la valeur de en et et de là on trouvera, en prenant les fonctions dérivées, une équation du second ordre en et ensuite une équation du troisième ordre entre et et ainsi de suite ; de sorte que, en substituant successivement dans ces équations les valeurs de données par les équations précédentes, on aura, en dernière analyse, les valeurs de exprimées en et Or, en faisant les quantités se changeront en ainsi, on aura les valeurs de exprimées en qui demeurera indéterminée.
De même, si l’on n’a pour la détermination de qu’une équation du second ordre entre et on en tirera successivement des équations des ordres supérieurs entre entre et ainsi de suite ; et, par les substitutions successives des valeurs de données par les équations précédentes, on aura en dernière analyse données en et de sorte qu’en faisant on aura les valeurs de exprimées en et ces deux quantités demeurant indéterminées ; et ainsi de suite.
Donc enfin, faisant ces substitutions dans l’expression générale de en il est clair qu’il restera dans cette expression une indéterminée constante lorsque la fonction sera donnée par une équation du premier ordre ; qu’il y restera deux constantes indéterminées et lorsque ne sera donnée que par une équation du second ordre ; qu’il y en restera trois, savoir, et lorsque sera donnée par une équation du troisième ordre ; et ainsi de suite.
Donc, en général, l’expression de en renfermera autant de constantes indéterminées qu’il y aura d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation qui détermine la fonction et, quoique cette conclusion soit fondée ici sur la théorie des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement, quelle que soit l’expression de puisqu’on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d’une expression finie.
