LEÇON QUATORZIÈME.
La théorie des équations dérivées, exposée dans la Leçon XII, porte naturellement à conclure que toute valeur qui peut satisfaire à une équation dérivée donnée doit être renfermée dans son équation primitive, pourvu que celle-ci ait toute la généralité dont elle est susceptible par les constantes arbitraires qui doivent y entrer. Il y a néanmoins des équations dérivées auxquelles satisfont les valeurs que j’appelle singulières, parce qu’elles ne sont pas comprises dans leurs équations primitives. Ces sortes de valeurs se sont présentées aux géomètres presque dès la naissance du Calcul différentiel ; mais, comme la théorie des constantes arbitraires n’était guère connue alors, on n’a pas d’abord regardé ces valeurs comme formant une exception aux règles générales du Calcul différentiel. Euler est le premier qui les ait envisagées sous ce point de vue et qui ait donné des règles pour les distinguer des intégrales ordinaires.
Depuis, on a reconnu qu’elles dépendent de la théorie générale des équations différentielles ou dérivées, et qu’elles servent à la compléter c’est ce que nous allons développer avec toute l’étendue qu’exige l’importance de la matière.
Considérons une équation quelconque du premier ordre, représentée par
