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et, de là,

$\operatorname {F} '(a)=-1,$

d’où l’on ne pourrait rien conclure relativement à l’équation primitive singulière.

Il faut néanmoins observer que, quoiqu’il soit vrai que l’équation primitive singulière rend les fonctions

$\Phi '(x),\ \ \Phi '(y),\ \ \Phi '(y'),\ \ \ldots$

infinies, on n’en doit pas conclure que toute équation qui rendra ces quantités infinies sera une équation primitive singulière ; il faudra, de plus, que cette équation ne rende pas la fonction

$\Phi (x,y,y',\ldots )$

égale à une constante, car on n’aurait alors qu’un cas particulier de l’équation primitive générale.

Par exemple, si

$\Phi (x,y)=(y-x)^{m},$

on aura

$\Phi '(x)=-m(y-x)^{m-1},\quad \Phi '(y)=m(y-x)^{m-1}\,;$

l’une et l’autre de ces quantités deviennent infinies, en faisant $y-x=0,$ pourvu que $m<1.$

Mais cette équation

$y-x=0$

rend la valeur de $\Phi (x,y)$ égale à zéro ou à l’infini, suivant que $m$ est positif ou négatif ; donc elle ne peut pas être une équation primitive singulière.

Prenons l’équation du premier exemple

$x^{2}-2ay+a^{2}-b=0\,;$

elle donne

$a=-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}},$

donc

$\Phi (x,y)=-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}},$