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et, de là,

${\begin{aligned}\Phi '(x)=&{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}},\\\Phi '(y)=&-1+{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b}}},\end{aligned}}$

où l’on voit que ces deux fonctions deviennent infinies par l’équation primitive singulière

$x^{2}+y^{2}-b=0.$

Nous avons trouvé plus haut cette équation du premier ordre

$y\left(1+x^{2}\right)+{\frac {x^{4}}{16}}-\left({\frac {x^{3}}{2}}+x\right)y'-y'^{2}=0,$

pour l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre

$y'-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0\,;$

en dégageant la fonction $y',$ on a

$y'+{\frac {2x+x^{3}}{4}}-{\frac {{\sqrt {1+x^{2}}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}{4}}=0\,;$

et, divisant par ${\frac {1}{8}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}},$ on obtient

${\frac {8y'+4x+2x^{3}}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}=2{\sqrt {1+x^{2}}},$

équation dont les deux membres sont des fonctions dérivées exactes.

En prenant leurs fonctions primitives, et ajoutant la constante arbitraire $k,$ on aura l’équation primitive

${\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}=x{\sqrt {1+x^{2}}}+l\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right)+k,$

comme il est facile de s’en assurer en prenant les fonctions dérivées de ses deux membres.

Cette équation est, comme l’on voit, bien différente de l’équations primitive complète

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0\,;$