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mais elle satisfait également à l’équation proposée du second ordre, parce qu’elle satisfait, en général, à l’équation du premier ordre, qui satisfait à celle du second ordre, comme primitive singulière.

Mais cette équation du premier ordre peut avoir elle-même une primitive singulière qu’il est bon de chercher.

Comme la constante $k$ est débarrassée des variables $x$ et $y,$ on a immédiatement

$k={\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}-x{\sqrt {1+x^{2}}}-l\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right),$

de sorte que, en désignant cette fonction par $\Phi (x,y),$ et prenant les fonctions dérivées relatives à $x$ ou $y,$ on aura sur-le-champ

$\Phi '(y)={\frac {8}{\sqrt {16y+4x^{2}+x^{4}}}}\,;$

donc, supposant cette quantité infinie, on aura l’équation

$16y+4x^{2}+x^{4}=0$

pour l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, qui est déjà elle-même une primitive singulière de la proposée du second ordre.

Elle satisfait, en effet, comme on peut s’en assurer, à l’équation du premier ordre ; mais elle ne satisfait plus à celle du second ordre.

On aurait pu aussi déduire immédiatement cette même équation singulière de l’équation primitive entre $x$ et $y$

$y-{\frac {a}{2}}x^{2}-bx-a^{2}-b^{2}=0,$

en déterminant $a$ et $b$ par ses deux équations dérivées relatives à $a$ et $b.$

On aura ainsi

${\frac {1}{2}}x^{2}+2a=0,\quad x+2b=0,$

d’où l’on tire

$a=-{\frac {x^{2}}{4}},\quad b=-{\frac {x}{2}}\,;$