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substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendrait

$y+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {x^{2}}{4}}=0.$

Il n’est pas difficile, en effet, de démontrer, par la théorie générale des équations primitives singulières, que ces sortes d’équations primitives singulières doubles résultent de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

en éliminant les deux constantes $a$ et $b$ par les deux équations particulières

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Et par là il est aisé de voir la raison pourquoi elles ne satisfont pas, en général, à l’équation du second ordre, dont

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

est l’équation primitive complète avec les deux constantes arbitraires $a$ et $b.$

Car soit

$f(x,y,y',y'')=0$

cette équation du second ordre ; elle résulte, comme nous l’avons vu, de l’élimination de $a$ et $b$ regardées comme constantes, au moyen des trois équations

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0.$

Mais, lorsqu’on regarde $a$ et $b$ comme des fonctions de $x$ et $y,$ l’équation dérivée de

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0$

n’est plus simplement

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$

mais elle devient

$\operatorname {F} '(x,y)+a'\operatorname {F} '(a)+b'\operatorname {F} '(b)=0,$

laquelle se réduit cependant à

$\operatorname {F} '(x,y)=0,$