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où $a,b,c,\ldots ,$ sont trois constantes arbitraires, et qu’on détermine ces trois quantités par les trois conditions

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,\quad \operatorname {F} '(c)=0,$

on aura une équation primitive singulière triple, qui sera, par conséquent, la primitive singulière d’une équation du premier ordre, qui sera elle-même la primitive singulière d’une autre du second ordre, laquelle sera enfin la primitive singulière de l’équation du troisième ordre, dont la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

sera la primitive ordinaire complète avec les trois constantes arbitraires $a,b,c\,;$ mais cette équation primitive singulière triple ne satisfera ni à l’équation du troisième ordre, ni même à sa primitive singulière du second ordre.

Nous avons démontré plus haut que les fonctions $\Phi '(x),\Phi '(y),\Phi '(y'),$ $\ldots ,\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)$ ont des valeurs infinies dans le cas de l’équation primitive singulière de la dérivée, dont

$\Phi \left(x,y,y',y'',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a$

est la primitive ordinaire, avec la constante arbitraire $a.$

On peut conclure de là, tout de suite, que tout multiplicateur qui rendra une équation de l’ordre quelconque $n,$ telle que

$y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=0,$

une dérivée exacte d’une équation de l’ordre inférieur $n-1,$ deviendra nécessairement infini en vertu de l’équation primitive singulière de la même équation.

Car soit $\mathrm {M}$ ce multiplicateur on aura donc, par l’hypothèse,

$\mathrm {M} \left[y^{(n)}+f\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\right]=\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)\,;$

et l’équation primitive sera

$\Phi \left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=a.$