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Or,

$\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)+\Phi '\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-2)}\right).$

Donc

$\mathrm {M} =\Phi '\left(y^{(n-1)}\right)\,;$

par conséquent la quantité $\mathrm {M}$ deviendra infinie par la substitution de la valeur de $y^{(n-1)}$ donnée par l’équation primitive singulière.

Cette conclusion suit aussi directement de la forme même des multiplicateurs, que nous avons donnée dans la Leçon XIII. En effet, si l’équation est du premier ordre, comme

$y'+f(x,y)=0,$

elle n’aura qu’une équation primitive, telle que

$\operatorname {F} (x,y,a)=0\,;$

et tous les multiplicateurs de cette équation sont nécessairement renfermés dans la formule ${\frac {\Phi (a)\operatorname {F} '(y)}{\operatorname {F} '(a)}},$ $\Phi (a)$ étant une fonction quelconque de $a,$ en supposant qu’on substitue pour $a$ sa valeur tirée de la même équation

$\operatorname {F} (x,y,a)=0\,;$

donc, puisque l’équation primitive singulière rend la fonction $\operatorname {F} '(a)$ nulle, tous les multiplicateurs deviendront aussi infinis.

Si l’équation dérivée est du second ordre, comme

$y''+f(x,y,y')=0,$

elle peut avoir deux équations primitives différentes, chacune du premier ordre, telles que

$\operatorname {F} (x,y,y',a)=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {\overline {F}} (x,y,y',b)=0\,;$

et la formule générale des multiplicateurs sera

${\frac {\Phi '(a)\operatorname {F} '(y')}{\operatorname {F} '(a)}}+{\frac {\Phi '(b)\operatorname {\overline {F'}} (y')}{\operatorname {\overline {F'}} (a)}},$