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Cette équation a pour équation primitive $\varphi$ égal à une constante arbitraire ; ainsi

$\varphi =a\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0$

sont deux équations primitives du premier ordre de la même équation du second ordre

$\varphi '\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

donc, par la théorie exposée dans la Leçon XII, éliminant $y'$ de ces deux équations, on aura l’équation primitive de

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

dans laquelle $a$ sera la constante arbitraire ; mais, comme $y'$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ le résultat de cette élimination sera le même que celui de l’élimination de $\varphi \,;$ par conséquent ce résultat sera

$\operatorname {F} (x,y,a)=0,$

ce qui redonne la même équation primitive d’où l’on était parti.

Considérons maintenant l’autre équation

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\,;$

celle-ci satisfait aussi, comme l’on voit, à la même équation du second ordre ; mais, comme elle ne contient que les fonctions $y$ et $y',$ elle peut être regardée comme une équation primitive du premier ordre de la même équation, mais sans constante arbitraire. Ainsi, en éliminant $y'$ par le moyen de celle-ci et de l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

on aura une nouvelle équation primitive de cette même équation, qui sera nécessairement différente de l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,a)=0.$

Or, comme la quantité $y'$ n’est contenue que dans la fonction $\varphi ,$ le résultat de l’élimination de $y',$ des deux équations

$\operatorname {F} '(\varphi )=0\quad {\text{et}}\quad \operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

sera le même que celui de l’élimination de $\varphi ,$ comme nous l’avons