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On aura donc l’équation primitive singulière de la proposée

$f(x,y,y')=0,$

en faisant, dans sa dérivée

$y''f'(y')+f'(x,y)=0,$

les deux équations séparées

$f'(y')=0,\quad f'(x,y)=0,$

et éliminant la fonction $y'$ au moyen de la proposée.

Si les deux résultats donnent la même équation entre $x$ et $y,$ ce sera l’équation primitive singulière ; sinon ce sera une marque que la proposée n’admet pas d’équation primitive de cette espèce.

Lorsque les deux fonction $f'(y')$ et $f'(x,y)$ ont un facteur commun, ce facteur égalé à zéro remplit les deux conditions, et donne l’équation primitive singulière par l’élimination de $y',$ au moyen de la proposée c’est le cas où celle-ci est de la forme

$\operatorname {F} (x,y,\varphi )=0,$

comme nous l’avons vu au commencement de cette Leçon. Il y a, au reste, une forme plus générale que celle-ci, où la dérivée est toujours décomposable en deux facteurs dont l’un donne l’équation primitive singulière ; nous en parlerons plus bas.

L’équation du premier ordre

$y'^{2}\left(x^{2}-b\right)-2xyy'-x^{2}=0,$

qui est la même que nous avons considérée au commencement de cette Leçon, mais multipliée par $y'^{2},$ a pour dérivée

$2\left[y'(x^{2}-b)-xy\right]y''-2(yy'+x)=0.$

On voit ici que les deux fonctions $y'(x^{2}-b)-xy$ et $yy'+x$ n’ont aucun facteur commun cependant, si on les fait chacune séparément égale à zéro, elles donnent ces deux valeurs de $y'$ savoir,