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${\frac {xy}{x^{2}-b}}$ et $-{\frac {x}{y}},$ qui étant substituées dans la proposée, donnent ces deux-ci

${\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}-b}}+x^{2}=0,\quad {\frac {x^{2}\left(x^{2}-b\right)}{y^{2}}}+x^{2}=0,$

lesquelles se réduisent à la même, savoir,

$x^{2}\left(x^{2}+y^{2}-b\right)=0.$

Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l’avions déjà trouvé.

Je remarque maintenant que l’équation du premier ordre

$f(x,y,y')=0,$

ayant pour dérivée

$y''f'(y')+f'(x,y)=0,$

donne en général

$y''=-{\frac {f'(x,y)}{f'(y')}}$

Mais nous venons de voir que, dans le cas de l’équation primitive singulière, on a séparément

$f'(y')=0,\quad f'(x,y)=0\,;$

donc on aura, dans ce cas,

$y''={\frac {0}{0}}\,;$

ce qui donne cette règle générale et fort simple pour trouver l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre lorsqu’il y en a une.

Cherchez, en prenant les fonctions dérivées, la valeur de la fonction seconde $y'',$ et supposez-la égale à zéro divisé par zéro, vous aurez deux équations en $x,y$ et $y',$ qui, étant combinées avec la proposée, donneront, par l’élimination de $y',$ deux autres équations en $x$ et $y.$ Si elles ont un facteur commun, ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.