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ou $a$ est la constante arbitraire. Sa dérivée relative à $a$ sera

$-x+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=0,$

laquelle donne

$a^{2}=x\quad {\text{et}}\quad a={\sqrt {x}}\,;$

et l’équation primitive devient, par la substitution de cette valeur,

$y-2x{\sqrt {x}}=0,\quad {\text{ou}}\quad y^{2}-4x^{3}=0\,;$

la même que nous venons de trouver.

Il est facile de voir, par l’expression générale de $y'',$ que non seulement cette expression devient ${\frac {0}{0}}$ en vertu de l’équation primitive singulière, mais que les expressions des fonctions suivantes $y''',y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\ldots$ deviendront aussi ${\frac {0}{0}}$ en les réduisant d’abord en simples fonctions de $y',y'',\ldots$ tirées de l’équation proposée, et substituant ensuite la valeur de $y$ en $x,$ donnée par l’équation primitive singulière.

On peut regarder cette propriété de l’équation primitive singulière comme son vrai caractère distinctif ; et l’on peut se convaincre d’ailleurs que son existence dépend, en effet, de ce que les valeurs des fonctions $y'',y''',\ldots$ des ordres supérieurs à la proposée demeurent indéterminées.

Car, si ces valeurs ne devenaient pas indéterminées dans le cas de l’équation primitive singulière, on pourrait, dans ce cas même, employer la formule générale donnée dans la Leçon XII

$y=y^{0}+y{^{0}}{'}x+y{^{0}}{''}{\frac {x^{2}}{2}}+y{^{0}}{'''}{\frac {x^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

dans laquelle $y^{0},y{^{0}}{'},y{^{0}}{''},\ldots$ sont les valeurs qui répondent à $x=0\,;$ et la quantité $y^{0},$ qui est la constante arbitraire, recevrait alors une valeur particulière dépendante de cette équation ; de sorte que la valeur de $y$ en $x,$ au lieu d’être une valeur singulière, ne serait plus, contre l’hypothèse, qu’un cas particulier de la valeur générale.

Il arrive donc ici ce qui a lieu dans les formules générales, lorsqu’il