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D’où il est aisé de conclure que l’on pourra satisfaire à la dérivée

$f'(x,y,y',y'')=0$

de la proposée, indépendamment de la valeur de la fonction tierce $y''',$ au moyen des deux équations du second ordre

$\operatorname {F} '(\varphi )=0,\quad {\text{et}}\quad f(x,y,y',y'')=0,$

dont la seconde est la proposée ; et qu’on aura l’équation primitive singulière de celle-ci, en éliminant $y''$ des mêmes équations. Or, la dérivée de la proposée étant de la forme

$y'''f'(y'')+f'(x,y,y')=0,$

on n’y peut satisfaire, indépendamment de la valeur de $y''',$ que par les deux équations séparées

$f'(y'')=0,\quad {\text{et}}\quad f'(x,y,y')=0.$

Il faudra donc éliminer $y''$ de chacune de ces deux équations, au moyen de la proposée

$f(x,y,y',y'')=0\,;$

et, si les deux résultats donnent une même équation, ce sera l’équation primitive singulière de la proposée.

On voit, en même temps, que puisqu’on a, en général,

$y'''=-{\frac {f'(x,y,y')}{f'(y'')}},$

les deux équations dont il s’agit rendent la valeur de $y'''$ égale à ${\frac {0}{0}}\,;$ de sorte que l’on peut regarder la condition de $y'''={\frac {0}{0}}$ comme celle qui détermine l’équation primitive singulière de la proposée du second ordre.

En appliquant les mêmes principes aux équations d’un ordre quelconque $n$^ième, on en conclura que, pour trouver son équation primitive singulière, si elle en a une, il faudra tirer de sa dérivée la valeur de la