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fonction $y^{(n+1)}$ de l’ordre suivant, et la faire $={\frac {0}{0}},$ en égalant séparément le numérateur et le dénominateur à zéro, et éliminer ensuite de ces deux équations la fonction $y^{(n)}$ au moyen de la proposée.

Si ces deux éliminations donnent un même résultat, ce sera l’équation cherchée.

Nous avons vu plus haut que l’équation du second ordre

$y''^{2}-{\frac {2y'y''}{x}}+1=0$

a pour dérivée une équation résoluble en facteurs dont l’un, qui n’est que du second ordre, donne sur-le-champ l’équation primitive singulière par l’élimination de $y''.$ Mais, si la même équation était proposée sous la forme

$xy''^{2}-2y'y''+x=0,$

sa dérivée

$2(xy''-y')y'''-y''^{2}+1=0$

ne présenterait plus de facteur.

Or elle donne

$y'''={\frac {y''^{2}-1}{2(xy''-y')}}.$

Égalant à zéro séparément le numérateur et le dénominateur, on a ces deux équations

$y''^{2}-1=0\quad {\text{et}}\quad xy''-y'=0.$

La première donne $y''=\pm 1\,;$ ce qui, étant substitué dans la proposée, donne

$2(x\pm y')=0\quad {\text{ou}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.$

La deuxième donne

$y''={\frac {y'}{x}},$

dont la substitution dans la proposée donne

$-{\frac {y'^{2}}{x}}+x=0,\quad {\text{savoir,}}\quad y'^{2}-x^{2}=0.$