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Ainsi cette équation est la primitive singulière de la proposée, comme nous l’avons déjà trouvé.

Considérons encore l’équation du second ordre

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}y''-(y'-xy'')^{2}-y''^{2}=0.$

Prenons les fonctions dérivées pour avoir la valeur de $y'''\,;$ on trouvera

$y'-y'+xy''-xy''+{\frac {x^{2}}{2}}y'''+2(y'-xy'')xy'''-2y''y'''=0,$

c’est-à-dire,

$\left[{\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''\right]y'''=0,$

d’où l’on voit que $y'''$ deviendra ${\frac {0}{0}}$ en égalant à zéro le facteur par lequel il est multiplié.

On aura ainsi cette seule condition

${\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''=0,$

d’où l’on tire

$y''={\frac {4xy'+x^{2}}{4\left(1+x^{2}\right)}}.$

Cette valeur, étant substituée dans la proposée, donnera l’équation singulière

$y-xy'+{\frac {x^{2}}{2}}.{\frac {4xy'+x^{2}}{4\left(1+x^{2}\right)}}-{\frac {\left(4y'-x^{3}\right)^{2}+\left(4xy'+x^{2}\right)^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=0,$

laquelle se réduit tout de suite à celle-ci

$y-{\frac {2x+x^{3}}{2\left(1+x^{2}\right)}}y'+{\frac {x^{4}-16y'^{2}}{16\left(1+x^{2}\right)}}=0.$

L’équation du troisième ordre

$\left[{\frac {x^{2}}{2}}+2(y'-xy'')x-2y''\right]y'''=0,$