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l’équation

$z'+zf'(\mathrm {X} )+{\frac {z^{2}}{2}}f''(\mathrm {X} )+\ldots =0,$

qui sert à déterminer $z$ en $x.$

Or, si la quantité $z$ pouvait devenir nulle, elle pourrait aussi être très petite.

Supposons-la d’abord très petite, et cherchons-en la valeur par approximation.

Pour cela, on négligera d’abord, vis-à-vis du terme qui contient $z,$ les suivants qui contiennent $z^{2},z^{3},\ldots ,$ comme étant beaucoup plus petits, et l’on aura, pour la première approximation, l’équation

$z'+zf'(\mathrm {X} )=0,$

laquelle, étant divisée par $z,$ a pour équation primitive

$lz+{\overline {\mathrm {X} }}=k,$

en prenant ${\overline {\mathrm {X} }}$ pour la fonction primitive de $f'(\mathrm {X} ),$ prise par rapport à la variable $x,$ dont $\mathrm {X}$ est une fonction donnée, et $k$ pour une constante arbitraire de là on tire

$z=e^{k-{\overline {\mathrm {X} }}}=e^{k}.e^{-{\overline {\mathrm {X} }}}=ae^{-{\overline {\mathrm {X} }}},$

en faisant $a=e^{k}.$

Ayant ainsi la première valeur approchée de $z,$ on la substitueras dans les termes négligés, et l’on pourra trouver une seconde valeur plus approchée, et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur de $z$ contiendra la constante arbitraire $a,$ et elle deviendra nulle en faisant $a=0\,;$ par conséquent, $\mathrm {X}$ ne sera pas une valeur singulière, contre l’hypothèse.

On doit conclure de là que, pour que $\mathrm {X}$ soit une valeur singulière non comprise dans la valeur générale, il faut que le développement de $f(x,\mathrm {X} +z)$ contienne d’autres puissances de $z$ que les puissances entières et positives.

Supposons donc que ce développement donne, en général,

$f(x,\mathrm {X} +z)=f(x,\mathrm {X} )+\mathrm {P} z^{m}+\mathrm {Q} z^{n}+\ldots ,$