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LEÇON TROISIÈME.

Fonctions dérivées des puissances. Développement d’une puissance quelconque d’un binôme.

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Puisque toute fonction dérivée du premier ordre $f'(x)$ n’est autre chose que le coefficient de $i$ dans le développement de la fonction primitive $f(x),$ après la substitution de $x+i$ à la place de $x,$ il s’ensuit que la recherche de la fonction dérivée d’une puissance quelconque $x^{m}$ se réduit à trouver le terme affecté de $i$ dans le développement de la puissance $(x+i)^{m}$ suivant les puissances de $i.$

Lorsque l’exposant $m$ est un nombre quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, on démontre facilement, par les premières opérations de l’Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance $m$ du binôme $x+i$ sont $x^{m}+mx^{m-1}i\,;$ ainsi, lorsque $f(x)=x^{m}$ ou $=\mathrm {A} x^{m},$ $\mathrm {A}$ étant un coefficient quelconque, on aura

$f'(x)=m\mathrm {A} x^{m-1},$

$m$ étant un nombre quelconque rationnel.

Comme tout nombre irrationnel peut être renfermé entre des limites rationnelles aussi resserrées que l’on veut, on en pourrait conclure tout de suite la vérité du résultat précédent pour une valeur quelconque irrationnelle de $m,$ puisqu’on peut, en resserrant les limites, diminuer l’erreur à volonté. Mais, comme il est plutôt question ici de la forme même de la fonction dérivée que de sa valeur absolue dans chaque cas particulier, nous croyons, pour ne rien laisser à désirer sur