cette proposition fondamentale, devoir en donner une démonstration aussi générale que rigoureuse.
Puisque
![{\displaystyle (x+i)^{m}=x^{m}\left(1+{\frac {i}{x}}\right)^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b45ecb1223851cf0a064ea505a0033551e292dd)
par les règles de l’Algèbre, si l’on fait pour abréger
il s’agira de trouver le coefficient de
dans le développement de
quel que soit l’exposant
Or, quel que puisse être ce coefficient, comme il doit être indépendant de
il est clair qu’il ne peut être qu’une fonction de
puisque l’expression
ne contient que les deux indéterminées
et
On pourra donc le représenter en général par
la caractéristique
désignant une fonction déterminée, mais inconnue. Ainsi, comme en faisant
nul, la quantité
devient
on aura
![{\displaystyle (1+\omega )^{m}=1+\omega \operatorname {F} (m)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60cdcce6e234200833971f29d120872c22fc9f66)
On aura donc aussi, pour un autre exposant quelconque
![{\displaystyle (1+\omega )^{n}=1+\omega \operatorname {F} (n)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1f54f24553694657a375f5425d72d80ff45361)
Multipliant ensemble ces deux équations, on aura
![{\displaystyle (1+\omega )^{m+n}=1+\omega \left[\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n)\right]+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba833e4bb31d89c7686164a32b71f6a58f3c9412)
Car la théorie des puissances repose uniquement sur ce principe que
quelles que soient les quantités
et l’on peut même dire que c’est dans ce principe que consiste l’essence des puissances, lorsque les exposants ne peuvent être expriméspar des nombres.
Ainsi
sera le coefficient de
dans le développement de la puissance
Mais ce coefficient doit être représenté par
puisque la fonction
devient
en y substituant
pour
Donc il faudra que la fonction désignée par la caractéristique
soit telle que l’on ait
![{\displaystyle \operatorname {F} (m+n)=\operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed5df9aee5b9d8e08c3e8f89351917dc9841f2c)
et
étant des quantités quelconques.