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son équation dérivée sera

$yy'-ax=0\,;$

et l’on tire de ces deux équations

$a={\frac {yy'}{x}},\quad b=y^{2}-xyy'.$

Supposons maintenant que l’on ait l’équation primitive singulière

$y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0\,;$

elle donne

$y=\mathrm {A} x+\mathrm {B} ,$

donc

$y^{2}=\mathrm {A} ^{2}x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2},$

et

$yy'=\mathrm {A} ^{2}x+\mathrm {AB} \,;$

de sorte que, par ces substitutions, les valeurs de $a$ et $b$ deviendront

$a=\mathrm {A} ^{2}+{\frac {\mathrm {AB} }{x}},\quad b=\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}\,;$

d’où l’on tire, en éliminant $x,$ cette équation en $a$ et $b,$

$\left(a-\mathrm {A} ^{2}\right)\left(b-\mathrm {B} ^{2}\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0\,;$

savoir,

$ab-\mathrm {B} ^{2}a-\mathrm {A} ^{2}b=0.$

Donc, substituant ici les premières valeurs de $a$ et $b$ en $x,y,y',$ on aura l’équation du premier ordre

${\frac {yy'}{x}}\left(y^{2}-xyy'\right)-\mathrm {B} ^{2}{\frac {yy'}{x}}-\mathrm {A} ^{2}\left(y^{2}-xyy'\right)=0,$

dont celle-ci

$y-\mathrm {A} x-\mathrm {B} =0$

sera l’équation primitive singulière.

Son équation primitive ordinaire sera

$y^{2}-ax^{2}-b=0,$