Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/226

en supposant entre $a$ et $b$ l’équation ci-dessus

$ab-\mathrm {B} ^{2}a-\mathrm {A} ^{2}b=0\,;$

de sorte que, comme cette équation donne

$b={\frac {\mathrm {B} ^{2}a}{a-\mathrm {A} ^{2}}},$

l’équation primitive sera

$y^{2}-ax^{2}-{\frac {\mathrm {B} ^{2}a}{a-\mathrm {A} ^{2}}}=0,$

$a$ étant la constante arbitraire.

En effet, si l’on cherche l’équation primitive singulière d’après celle-ci, on aura, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $a,$

$-x^{2}+{\frac {\mathrm {B^{2}A^{2}} }{\left(a-\mathrm {A} ^{2}\right)^{2}}}=0\,;$

d’où l’on tire

$a=\mathrm {A} ^{2}\pm {\frac {\mathrm {BA} }{x}}.$

Substituant cette valeur dans la même équation, on aura

$y^{2}-\mathrm {A} ^{2}x^{2}\mp 2\mathrm {AB} x-\mathrm {B} ^{2}=0,$

ce qui donne

$y=\pm \mathrm {A} x\pm \mathrm {B} ,$

où les signes ambigus sont à volonté.

En général, il est facile de voir qu’on aura le même résultat

$\Phi (a,b)=0,$

en substituant d’abord, dans l’équation supposée

$\operatorname {F} (x,y,a,b)=0,$

la valeur donnée

$y=\Sigma (x),$

et éliminant ensuite $x$ par le moyen de son équation prime, relative à $x.$

Or si l’équation

$\Phi (a,b)=0$