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donne

$b=\psi (a),$

et qu’on substitue cette valeur à la place de $b,$ il s’ensuivra que l’équation

$\operatorname {F} \left[x,\Sigma (x),a,\psi (a)\right]=0$

aura lieu en même temps que son équation prime relative à $x.$ Mais, $a$ étant alors une fonction de $x,$ l’équation prime relative à $x$ et $a$ doit avoir lieu ; donc la partie relative à $a$ aura lieu aussi en particulier ; ce qui est le caractère de l’équation primitive singulière.

Ainsi, ayant pris une équation primitive quelconque en $x,y,a$ et $b,$ il n’y aura qu’à éliminery au moyen de l’équation primitive singulière donnée, ensuite éliminer $x$ par celle-ci et par son équation prime relative à $x\,;$ on aura sur-le-champ une équation en $a$ et $b$ qui sera l’équation de condition

$\Phi (a,b)=0,$

par laquelle il faudra déterminer l’une des deux constantes $a$ ou $b$ par l’autre. Ensuite on pourra, d’après la même équation primitive, chercher, si l’on veut, l’équation dérivée par l’élimination de la constante arbitraire.

Dans l’exemple précédent, en substituant $\mathrm {A} x+\mathrm {B}$ pour $y$ dans l’équation

$y^{2}-ax^{2}-b=0,$

on a

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x^{2}+2\mathrm {AB} x+\mathrm {B} ^{2}-b=0,$

dont l’équation prime est

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)x+\mathrm {AB} =0\,;$

celle-ci donne

$x=-{\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A} ^{2}-a}},$

et cette valeur, substituée dans la première, donne sur-le-champ l’équation de condition

$\left(\mathrm {A} ^{2}-a\right)\left(\mathrm {B} ^{2}-b\right)-\mathrm {A^{2}B^{2}} =0,$

comme plus haut.