En prenant d’autres équations en et opérant de la même manière, on trouvera autant d’équations du premier ordre qu’on voudra, dont la même équation
sera l’équation primitive singulière.
On voit aussi que la même équation en et pourra donner telle équation primitive singulière qu’on voudra, suivant la relation qu’on établira entre les constantes et
Enfin on voit que, par ce problème, on peut toujours trouver la relation entre deux constantes d’une équation donnée en et pour que cette équation soit l’équation primitive ordinaire et complète, répondant à une équation primitive singulière donnée.
On peut appliquer la même méthode à la recherche des équations du second ordre ou des ordres supérieurs dont l’équation primitive singulière sera donnée.
Supposons que cette équation soit du premier ordre et représentée par
On prendra une équation quelconque en et trois constantes arbitraires
On tirera de cette équation et de ses équations prime et seconde les valeurs de en fonctions de et
On substituera dans ces fonctions les valeurs de et en et tirées de l’équation primitive donnée, c’est-à-dire à la place de et à la place de on aura exprimées en fonctions de et ce qui donnera trois équations, d’où, éliminant et il résultera une équation en que je représenterai par
Cette équation, en y substituant les premières valeurs de en fonctions de sera l’équation du second ordre dont la proposée
