Pour trouver d’une manière générale la forme de la fonction diaprés cette condition, je supposerai que la quantité
soit changée en
et que la quantité
le soit en
étant quelconque ; alors la fonction
demeurera la même, et les fonctions
deviendront
![{\displaystyle \operatorname {F} (m+i),\quad \operatorname {F} (n-i)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbba098309b4a2010b1221cf811fd1f666b6e3ac)
donc l’équation précédente donnera
![{\displaystyle \operatorname {F} (m)+\operatorname {F} (n)=\operatorname {F} (m+i)+\operatorname {F} (n-i).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd851aa1b7657ccf9580fb213e7f71b15c2151da)
Or, par le développement, la fonction
![{\displaystyle \operatorname {F} (m+i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285103576e0bdb3dd0d59df654c108f640cfc943)
devient
![{\displaystyle \operatorname {F} (m)+i\operatorname {F} '(m)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(m)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e959c64e0e79f356246a1ef07422293102e16a16)
comme on l’a vu plus haut ; et la fonction
deviendra de même, en prenant
négativement,
![{\displaystyle \operatorname {F} (n)-i\operatorname {F} '(n)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(n)-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da52eb652bf77092791a0d608eb65b0a436d2d50)
donc l’équation précédente se réduira à celle-ci
![{\displaystyle i\left[\operatorname {F} '(m)-\operatorname {F} '(n)\right]+{\frac {i^{2}}{2}}\left[\operatorname {F} ''(m)+\operatorname {F} ''(n)\right]+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a081b297a26ae1f432fb6f9a0f3a0fa0f2d708bd)
laquelle devant avoir lieu quelle que soit la valeur de
on aura nécessairement
![{\displaystyle \operatorname {F} '(m)-\operatorname {F} '(n)=0,\quad \operatorname {F} ''(m)+\operatorname {F} ''(n)=0,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4afc93d5aec22e1850183c173d82b99f6dbe84)
La première de ces conditions donne
![{\displaystyle \operatorname {F} '(m)=\operatorname {F} '(n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b1e6c837fab9178d83e128379a5b9dc7712a2b)
d’où l’on conclut d’abord que la valeur de la fonction
doit être indépendante de la variable
puisqu’elle demeure la même en changeant la valeur de cette variable, et qu’ainsi cette valeur doit être constante relativement à la même variable.