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en éliminant $y'$ de cette équation au moyen de sa dérivée, prise relativement à $y'$ seule.

En appliquant les mêmes principes aux équations des ordres supérieurs, on prouvera que, si l’on a une équation du second ordre, représentée par

$\Psi (x,y,y',y'')=0,$

dont le premier membre puisse être une fonction quelconque $\Phi (a,b,c)$ de trois fonctions $a,b,c,$ déterminées par une équation quelconque

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0$

entre $x,y,a,b,c,$ et par ses deux équations dérivées

$\operatorname {F} '(x,y)=0,\quad \operatorname {F} ''(x,y)=0,$

prises en regardant $a,b,c$ comme constantes, l’équation proposée aura nécessairement une primitive singulière du premier ordre, qui sera le résultat de l’élimination de $y'',$ au moyen de son équation dérivée

$\psi '(y'')=0,$

relative à $y''.$

Et l’on aura l’équation primitive en $x$ et $y,$ par l’équation même

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c)=0,$

en prenant les constantes $a,b,c$ de manière qu’elles satisfassent à l’équation donnée

$\Phi (a,b,c)=0,$

de sorte qu’il en restera deux d’arbitraires.

Et de même pour les équations des ordres supérieurs.

Prenons l’équation

$x^{2}-2ay-a^{2}-b=0\,;$

sa dérivée sera

$x-ay'=0\,;$

de ces deux équations on tire

$a={\frac {x}{y'}},\quad b=x^{2}-{\frac {2xy}{y'}}-{\frac {x^{2}}{y'^{2}}}.$