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En général, il résulte de l’analyse précédente que, si $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots$ sont des fonctions d’un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes $a,b,c,\ldots ,$ tirées d’une équation en $x,y,y',y'',\ldots ,$ $a,b,c,\ldots ,$ et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.

Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de $x,y,y',$ $y'',\ldots$ sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c’est-à-dire, dans lesquels il n’entre que des fonctions dérivées de $y$ du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d’autant de constantes tirées d’une équation primitive et de ses dérivées successives ; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.

Car, si l’on désigne par $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots$ les fonctions dont il s’agit, et que $\mathrm {M,N} ,\ldots ,$ soient les valeurs des rapports des dérivées $\psi ',\xi ',\ldots$ à la dérivée $\varphi ',$ ces valeurs étant, par l’hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données $\varphi ,\psi ,\xi ,\ldots ,$ on aura donc les équations

$\psi '=\mathrm {M} \varphi ',\quad \xi '=\mathrm {N} \varphi ',\quad \ldots .$

Supposons

$\varphi '=0,$

on aura donc aussi

$\psi '=0,\quad \xi '=0,\quad \ldots \,;$

donc

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

$a,b,c,\ldots$ étant des constantes.

Ces différentes équations seront donc autant d’équations primitives de la même équation

$\varphi '=0,$

puisqu’elles ont lieu en même temps qu’elle ; par conséquent ; en éliminant de ces mêmes équations

$\varphi =a,\quad \psi =b,\quad \xi =c,\quad \ldots ,$

les plus hautes fonctions dérivées de la variable $y,$ on aura une équa-